UN POCO DE HISTORIA

Los pitagóricos pensaban con absoluta convicción que el cosmos estaba regido por los números, y que el reino de los números era perfecto. Por eso, cuando descubrieron que la razón entre el diámetro de una circunferencia y su radio era un número con infinitas cifras decimales (pi) lo guardaron celosamente en secreto, y según se cuenta eran capaces de llegar hasta el asesinato con tal de que no fuera revelado. Pi era una imperfección diabólica, y nadie debía conocer su existencia, porque rompía la armonía del mundo matemático. El último cuarto del siglo XIX empezaron a aparecer una serie de conjuntos matemáticos que desafiaban las convenciones vigentes, y que fueron apartados del estudio sistemático por considerarlos "monstruosos, casi patológicos". Tampoco se asesinaba a aquél que se los tomaba un poco en serio, pero enseguida era tratado de paria, loco o algo peor. Entre estos "monstruos irracionales" había uno descubierto por el matemático alemán Georg Cantor* , y que había bautizado como conjunto C (Cantor es, por cierto, el padre de la teoría de conjuntos)
Demos un salto de varias décadas hacia el futuro para interesarnos por un joven matemático que ha empezado a trabajar para IBM. Se llama Benoit Mandelbrot, y corren los años 60 del siglo XX. Mandelbrot está estudiando un problema de ruido no despreciable en una transmisión de datos informáticos. El ruido, en este caso, se refiere a cualquier interferencia, interrupción, discontinuidad o error que aparezca en la transmisión. No despreciable significa que afecta a la misma siempre. Lo que encuentra Mandelbrot es lo siguiente. Supongamos que dividimos la transmisión en segmentos de una hora de duración. Numeramos 0 a los intervalos sin ruido, y 1 a los intervalos con ruido. Ahora, afinamos la precisión en los intervalos 1 y los reproducimos dividiéndolos en intervalos de 20 minutos cada uno. Nuevamente aparecen intervalos sin ruido 0 e intervalos con ruido 1. Afinemos una vez más: cojamos un intervalo 1, y dividámoslo en intervalos de 6'6 minutos. Nuevamente aparecen intervalos sin ruido 0 e intervalos con ruido 1. Mandelbrot repitió la operación muchísimas veces, obteniendo siempre el mismo resultado: por mucho que afinaba en el análisis reduciendo el intervalo de tiempo (lo que equivaldría a aumentar el zoom para analizar una imagen) el grado de discontinuidad / fragmentación del ruido es siempre el mismo. A nosotros, que ya hemos leído algo sobre fractales, esto nos resulta vagamente familiar. Pero cuando Mandelbrot estaba inmerso en este modesto problema de ingeniería, ni siquiera éxistía la palabra fractal. Aún así, se acordó de uno de esos conjuntos "patológicos" que tanto le interesaban, convencido de haber descubierto una herramienta muy útil para describir matemáticamente el suceso que estaba estudiando. Mandelbrot pensó en el conjunto C de Cantor.

INVARIANZA POR CAMBIO DE ESCALA

El suceso que estaba estudiando Mandelbrot presentaba una propiedad llamada invarianza por cambio de escala. Significa que cualquiera que sea la escala que escojamos para describirlo, existen características, en este caso la fragmentación, que permanecen idénticas. El polvo fractal de Cantor es ideal para presentar esta propiedad, que por otro lado poseen muchísimos fractales (todos aquellos que no tienen límites superiores o inferiores de complejidad) Se les llama fractales escalantes. Pero vayamos ya con el conjunto C.
Supongamos que tenemos un segmento cualquiera de recta. Lo dividimos en tres partes iguales y extraemos la parte central. Repetimos la operación con las dos partes restantes, esto es, dividimos cada una en tres, extrayendo la central, y así indefinidamente. Rápidamente el segmento original se va convirtiendo en un conjunto disperso de puntos aislados, se va pulverizando, y de ahí su nombre. Veámoslo

Efectivamente, el suceso ruido presentaba una estructura muy parecida a este fractal (obviamente, el ruido es aleatorio, por lo que la discontinuidad no es ni mucho menos regular como aquí, pero en principio intuimos que Mandelbrot escogió un camino correcto). Imaginemos que los segmentos que van quedando después de cada extracción, son los intervalos de tiempo con ruido: en la siguiente repetición del proceso, es decir, en el cambio de escala, nuevamente debemos fragmentar (igual que el ruido aparecía siempre fragmenteado, fuera cual fuera la finura del análisis)
Sabiendo que el proceso se repite infinitas veces (en la figura se detiene simplemente porque ya no podemos dibujar segmentos más pequeños), se puede comprender que, independientemente de la escala que escojamos para observar el polvo de Cantor, la fragmentación es siempre idéntica, por lo que es un fractal escalante. Este fue el primer fractal descubierto por el hombre, pero no fue hasta 1975 que Mandelbrot juntó todas las piezas dispersas de los distintos estudios sobre invarianza por cambio de escala, inventando la palabra fractal y dando nacimiento a una nueva y fascinante disciplina matemática. Por todo ello, Mandelbrot es conocido como el padre de la geometría fractal.

* En realidad fue Henry Smith quien lo descubrió, pero fue Cantor quien le sacó partido al utilizarlo para estudiar el continuo.